モバイル デバイスでのみ表示されるブロックに H1 タグを追加する必要がありますか?

いいえ。ページごとに 1 つの H1 タグのみを使用してください。

異なる可視性パラメーターを持つブロックのコピーを作成している場合、ブロックのコードはページに残り、検索エンジンのクローラーに表示されます。これが、2 番目のブロックに H1 タグがないことを確認する理由です。