モバイル端末でのみ表示されるブロックにH1タグを追加すべきでしょうか？

いいえ、H1タグは1ページに1つだけ使用してください。

異なる可視性パラメータを持つブロックのコピーを作成する場合、ブロックのコードはページに残り、検索エンジンのクローラーに表示されます。そのため、2つ目のブロックにはH1タグがないようにしてください。